Geometria – Exercícios Resolvidos I

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Boa tarde, pessoal!

A Geometria Espacial é um assunto muito cobrado nos vestibulares, atualmente. Assim como postei anteriormente sobre os assuntos mais cobrados no vestibular da Fuvest (link).

Por isso, apenas para um começo (e foi um exercício um exercício cobrado por um dos seguidores de nossa página) realizarei dos exercícios demonstrando a utilização de dois teoremas importantíssimos para o entendimento de Geometria Espacial e Polígonos Convexos.

Exercício 1:

(ITA – SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:
a) 13
b) 17
c) 21
d) 24
e) 27

Resolução:

Pelo Teorema de Platão, teremos que:

Com:

          p ⇒ arestas concorrentes por vértices;

          n ⇒ quantidade de vértices com essa quantidade de arestas concorrentes;

          A ⇒número de arestas;

Pelo enunciado, nós teremos de achar n3:

2.A=6.1+4.6+3n3
2.A=6+24+3n3
2.A=30+3n3

Para calcularmos n3, usaremos o Teorema de Euler, que é:

  • V ⇒ número de vértices do polígono
  • F ⇒ Número de faces do polígonos
  • A ⇒ Número de arestas do polígono

Pelo enunciado, o número de vértices é dado por:

V = 7 + n3

F = 13

Resolvendo a equação, temos que :

n3 = 6

Substituindo na equação de A, teremos;

Portanto,

Resposta: A = 24


(Cesgranrio – RJ) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. o numero de faces desse poliedro é igual a:
a) 16
b) 18
c) 24
d) 30
e) 44

Resolução:

Pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, nós usaremos o Teorema de Platão:

 arestas

Como, pelo enunciado, temos 14 vértices e usando o Teorema de Euler:

Resposta: F = 16 faces (letra a)

Alguma dúvida? Por favor, comentem e compartilhem!

Grande abraço!

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