Geometria – Exercícios Resolvidos I

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Boa tarde, pessoal!

A Geometria Espacial é um assunto muito cobrado nos vestibulares, atualmente. Assim como postei anteriormente sobre os assuntos mais cobrados no vestibular da Fuvest (link).

Por isso, apenas para um começo (e foi um exercício um exercício cobrado por um dos seguidores de nossa página) realizarei dos exercícios demonstrando a utilização de dois teoremas importantíssimos para o entendimento de Geometria Espacial e Polígonos Convexos.

Exercício 1:

(ITA – SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:
a) 13
b) 17
c) 21
d) 24
e) 27

Resolução:

Pelo Teorema de Platão, teremos que:

Com:

          p ⇒ arestas concorrentes por vértices;

          n ⇒ quantidade de vértices com essa quantidade de arestas concorrentes;

          A ⇒número de arestas;

Pelo enunciado, nós teremos de achar n3:

2.A=6.1+4.6+3n3
2.A=6+24+3n3
2.A=30+3n3

Para calcularmos n3, usaremos o Teorema de Euler, que é:

  • V ⇒ número de vértices do polígono
  • F ⇒ Número de faces do polígonos
  • A ⇒ Número de arestas do polígono

Pelo enunciado, o número de vértices é dado por:

V = 7 + n3

F = 13

Resolvendo a equação, temos que :

n3 = 6

Substituindo na equação de A, teremos;

Portanto,

Resposta: A = 24


(Cesgranrio – RJ) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. o numero de faces desse poliedro é igual a:
a) 16
b) 18
c) 24
d) 30
e) 44

Resolução:

Pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, nós usaremos o Teorema de Platão:

 arestas

Como, pelo enunciado, temos 14 vértices e usando o Teorema de Euler:

Resposta: F = 16 faces (letra a)

Alguma dúvida? Por favor, comentem e compartilhem!

Grande abraço!

Operações com Números Complexos

Bom dia, pessoal!

Recebi uma dúvida de um estudante em nossa página no Facebook. Ele me enviou um exercício para o cálculo de : .

Para isso, devemos lembrar que , certo? Mas também devemos lembrar das seguintes propriedades:

E essa sequência de propriedades vai se repetindo a medida que fazemos .

Portanto, para o cálculo da potência de um número irracional com alto valor, utilizaremos essas propriedades padrão como ajuda.

O primeiro valor da sequência é o , com essa sequência sendo composta por 4 valores, vamos chamar cada sequência de “coluna”.

Na segunda coluna, teremos como primeiro valor a potência , formando a seguinte coluna:

Com isso, percebemos que o primeiro valor de cada coluna é um múltiplo de 4.

O segredo deste tipo de exercício então é achar o primeiro valor da coluna que mais se aproxima do valor pedido no exercício, sendo que este primeiro valor é múltiplo de 4.

Para o caso do , ele pertence à coluna que tem como primeiro valor o , portanto sua coluna é a seguinte:

Resposta: -i

 

O raciocínio ficou claro? Caso tenha ficado alguma dúvida, por favor, comentem.

Grande abraço, pessoal!

Exercícios Resolvidos Logaritmos

Nível 1:

1) Calcule o valor de “x”:

  •    

Desmembrando o logaritmando e a base teremos:

  e  

Utilizando a Propriedade C de nossa aula  Operações com Logaritmos teremos:

Como logaritmos de mesmo logaritmando e base são iguais a 1:

Resposta:     

  • Utilizando as mesmas propriedades acima, vamos calcular:

   e    

Portanto,

Resposta: 

 

Mudança de Base (Logaritmos)

A mudança de base é uma ferramenta muito interessante na resolução de exercícios envolvendo logaritmos.

Essa ferramente consiste em substituirmos a base de um logaritmo que nós não conhecemos por um logaritmo com base cujo valor nós conhecemos. Pareceu confuso, certo? Então vamos desenrolar…

A notação genérica para este caso pode ser dada por:

Quando utilizar Mudança de Base?

Nesse tópico iremos mostrar quando a Mudança de Base pode nos ser útil.

Digamos que, em um exercício, nós desejamos calcular o   , mas nós não possuímos nenhuma informação que pareça nos ajudar nessa operação.

As únicas informações que possuímos são:

Então, como podemos definir  ??

Ao utilizarmos o conceito de mudança de base nesse logaritmo, teremos:

Substituindo os valores, teremos que :

Simples, não?

 

Em minha próxima postagem resolverei diversos exemplos sobre a aplicação das propriedades vistas nestas três aulas.

Caso vocês tenham perdido alguma, seguem abaixo os links para acesso.

 

Não se esqueçam de comentar, enviando dúvidas e sugestões para as próximas aulas, inclusive dicas de conteúdo que possuam dúvidas.

Até a próxima!!

 

Operações com Logaritmos

Boa tarde, pessoal.

Na nossa primeira aula sobre Logaritmos, nós estudamos as suas propriedades fundamentais, ou seja, as ferramentas básicas para o que veremos na aula de hoje.

Veremos nessa aula como realizamos operações com Logaritmos, aprenderemos também o recurso da Mudança de Base, que uma ferramenta muito interessante para a resolução de exercícios e, na próxima aula, resolveremos diversos exercícios para fixar todo o conhecimento adquirido.

Lembrando que, como sempre, vocês podem me enviar suas dúvidas nos comentários ou por e-mail.

Então vamos lá!

Inicialmente, devemos nos atentar que SEMPRE que um Logaritmo for escrito sem um número na BASE, o valor da base é 10. Ou seja, se o Logaritmo estiver escrito como:

 ou , temos que a base deste logaritmo é 10. Devemos nos atentar também que grande maioria dos exercícios vem na base 10.

Dito isso, vamos para nossa primeira propriedade…

a) Soma de Logaritmos

Ao somarmos dois logaritmos de mesma base, o resultado desta operação é dado por:

Ou seja, a soma de dois logaritmos resulta em uma logaritmo de mesma base, porém com o logaritmando (parte de cima) igual ao produto entre os dois logaritmandos anteriores.

Essa propriedade também vale para a soma de infinitos logaritmos de mesma base.

A segunda propriedade é:

b) Subtração de Logaritmos

Assim como a propriedade acima, a subtração de logaritmos é bastante semelhante.

Ao subtrairmos dois logaritmos de mesma base, o resultado desta operação é dado por:

Ou seja, a subtração de dois logaritmos resulta em uma logaritmo de mesma base, porém com o logaritmando (parte de cima) igual ao quociente (divisão) entre os dois logaritmandos anteriores.

Obs: esta propriedade também é válida para infinitas subtrações.

A terceira propriedade é:

c) Potências de Logaritmos

Esta propriedade envolve a situação de quando o nosso logaritmando possuir algum expoente. Nesse caso, o expoente se tornará o multiplicador de todo o logaritmo.

Valor ilustrar:

Percebemos que o expoente “n” de “b” virou o multiplicador do logaritmo.

Exemplo:

 = ??

Decompondo o logaritmando 4, temos: 4 = 2², correto?

Portanto,   = 

Utilizando a propriedade de Potências de Logaritmos, temos:

 = 

Como vimos na Propriedade 2 da Aula 1, um logaritmo com o valor do logaritmando igual ao valor de sua base é igual a 1, teremos:

 

Conclusão:

Todas estas propriedades se tornarão muito mais claras em nossas mentes quando as utilizarmos na resolução de alguns exercícios de fixação. É por isso que nas próximas aulas resolveremos diversos exercícios envolvendo cada uma dessas propriedades acima.

E então? Gostaram? Aguardo seus comentários com dúvidas e sugestões, responderei todas as dúvidas da forma que desejarem.

Até mais, pessoal! Continuar lendo

Como calcular logarítmos?

Um assunto que tenho recebido muitas dúvidas é sobre os temidos logarítmos. 

Quando eu estava na escola via muitas pessoas “quebrando a cabeça” para tentar entender esse assunto, dizendo que era impossível entender as operações com os famosos LOG’s. Então vamos desenrolar esse assunto?

1) Definição de logarítmos:

Podemos dizer que o logarítmo é a operação contrária à Potencialização, ou seja, logarítmo está para potencialização assim como a adição está para a subtração. Um pouco confuso? Abaixo nós começaremos a introduzir as propriedades e operações utilizando logarítmos, que é o que vocês utilizarão para resolver seus exercícios e suas provas.

2) Propriedades fundamentais:

Inicialmente, vamos tentar entender o que calculamos quando vemos a palavra Log em nossas apostilas.

Vamos partir da seguinte ilustração:

logab = x

A letra “a” indica a base do nosso logarítmo;

A letra “b” indica o logaritmando;

A letra “x” é o logarítmo.

Não vamos nos assustar com os nomes, eu só os utilizei aqui para manter as definições de suas apostilas, para não haver diferença em nosso entendimento.

Mas o que esperamos calcular com isso?  Resposta: nós queremos calcular qual o valor de “x” que devemos elevar “a” para obter “b”. Ou seja, quanto é ax=b. Entenderam? Em um exercício vocês possuiriam os valor de “a” e “b”, tendo como único trabalho o cálculo de “x”.

Possuímos também 5 propriedades básicas logarítmicas, sendo elas:

a) Propriedade 1:

O logarítmo do número 1, em qualquer base, é sempre igual a 0 (zero), ou seja,

, pois,  lembrando, . Sendo “a” qualquer número maior que zero.

b) Propriedade 2:

Todo logarítmo que tenha o valor do logaritmando igual ao valor de sua base, possui valor igual a 1. Ou seja,

, pois,  lembrando,  . Sendo “a” qualquer número diferente de zero.

c) Propriedade 3:

O valor do logarítmo é igual ao valor do expoente do logaritmando, quando o valor da base for igual ao do logaritmando. Deixando essa propriedade menos confusa, podemos escreve-la assim:

, pois, .

d) Propriedade 4:

alogab = b

e) Propriedade 5:

Dois logarítmos de mesma base só podem ser iguais se os valores de seus logaritmandos também forem iguais. Ou seja,

, portanto, b = c. Entenderam?

As 5 propriedades dos logarítmos expressadas acima parecem ser um pouco triviais e simples quando observadas separadamente, mas quando entrarmos em assuntos mais profundos vocês entenderão a real necessidade destas propriedades.

Na próxima aula resolveremos alguns exercícios básicos utilizando essas propriedades.

Deixem suas dúvidas e opiniões nos comentários, pessoal!

Grande abraço e até a próxima! Continuar lendo