Exercícios Fuvest 2012 – Matemática

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A Fuvest é um dos vestibulares mais desejados e disputados de todo o Brasil. Ela seleciona estudantes para a USP, Santa Casa e diversas outras faculdades. Sendo assim, sua prova costuma ser uma das mais visadas pela internet.

Aqui faremos o mesmo!

Começando neste post, adicionarei os enunciados dos exercícios para vocês irem meditando sobre eles, em seguida, postarei a resolução comentada, da forma que vocês mais gostam.

A prova de 2012 foi muito interessante, não fugindo muito dos assuntos comumente cobrados (Geometria Plana, Trigonometria, Logarítmos, Geometria Analítica, Matrizes Geometria Espacial e Análise Combinatória). 

A prova não costuma ser difícil, mas também sempre cobra do concorrente “algo a mais”, ou seja, seus exercícios requerem um certo nível de atenção que somente os estudantes que estão dominando bem o assunto conseguirão responder.

Portanto, chega de enrolação! Seguem abaixo os enunciados e, no próximo post, resolverei para vocês.

Prova Fuvest 2012 – Matemática

58) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a:

a) 100
b) 105
c) 115
d) 130
e) 135


59)  O segmento AB é lado de um hexágono regular de área . O ponto P pertence à mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale  . Então, a distância de P ao segmento AB é igual a:

a) 
b) 
c) 
d) 
e) 


60) O número real x, com 0 < x < π, satisfaz a equação: 

.
Então,   vale

a) 1/3
b) 2/3
c) 7/9
d) 8/9
e) 10/9


61) Considere a função

 ,

a qual está definida para x ≠ -1. Então, para todo x ≠ 1  e x ≠ -1, o produto f(x) f(-x) é igual a:

a) 
b)  
c) 
d) 
e) 


62) Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medidas dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a:

a) 315
b) 320
c) 325
d) 330
e) 335


63) Na figura, tem-se AE paralelo a CD, BC paralelo a  de, AE = 2, α = 45º e ß = 75º. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é igual a:

a)                                                                       Sem título
b) 
c) /2
d) /2
e) /4


64) Considere a matriz

Sem título,
em que “a” é um número real. Sabendo que A admite
inversa cuja primeira coluna é:

Sem título,
a soma dos elementos da diagonal principal de é igual a:

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9


65) No plano cartesiano Oxy, a circunferência ς é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1,2). Nessas condições, o raio de ς vale:

a) 
b) 
c) 
d) 
e) 


66) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b), em que 11 ≤ a ≤ 22 e 43 ≤ b ≤ 51. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?

a) 7/27
b) 13/54
c) 6/27
d) 11/54
e) 5/27


67) Em um tetraedro regular de lado “a”, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a:

a)
b) 
c) 
d) 
e)


68) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação , em que “a” é um número real positivo, “t” é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e “c”, “k” são constantes positivas. Sabe-se que gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?

a) 10%
b) 5%
c) 4%
d) 3%
e) 2%


69) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos?

a) 49/144
b) 14/33
c) 7/22
d) 5/22
e) 15/144


 

Esses são os enunciados! Espero que consigam resolver e, qualquer dúvida, podem me enviar o quanto antes.

Amanhã teremos a resolução deles, então, podem resolver tranquilamente.

Abraço!

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Geometria – Exercícios Resolvidos I

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Boa tarde, pessoal!

A Geometria Espacial é um assunto muito cobrado nos vestibulares, atualmente. Assim como postei anteriormente sobre os assuntos mais cobrados no vestibular da Fuvest (link).

Por isso, apenas para um começo (e foi um exercício um exercício cobrado por um dos seguidores de nossa página) realizarei dos exercícios demonstrando a utilização de dois teoremas importantíssimos para o entendimento de Geometria Espacial e Polígonos Convexos.

Exercício 1:

(ITA – SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:
a) 13
b) 17
c) 21
d) 24
e) 27

Resolução:

Pelo Teorema de Platão, teremos que:

Com:

          p ⇒ arestas concorrentes por vértices;

          n ⇒ quantidade de vértices com essa quantidade de arestas concorrentes;

          A ⇒número de arestas;

Pelo enunciado, nós teremos de achar n3:

2.A=6.1+4.6+3n3
2.A=6+24+3n3
2.A=30+3n3

Para calcularmos n3, usaremos o Teorema de Euler, que é:

  • V ⇒ número de vértices do polígono
  • F ⇒ Número de faces do polígonos
  • A ⇒ Número de arestas do polígono

Pelo enunciado, o número de vértices é dado por:

V = 7 + n3

F = 13

Resolvendo a equação, temos que :

n3 = 6

Substituindo na equação de A, teremos;

Portanto,

Resposta: A = 24


(Cesgranrio – RJ) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. o numero de faces desse poliedro é igual a:
a) 16
b) 18
c) 24
d) 30
e) 44

Resolução:

Pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, nós usaremos o Teorema de Platão:

 arestas

Como, pelo enunciado, temos 14 vértices e usando o Teorema de Euler:

Resposta: F = 16 faces (letra a)

Alguma dúvida? Por favor, comentem e compartilhem!

Grande abraço!

Temas mais Cobrados pela Fuvest

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Boa noite, pessoal.

Andei revisando algumas provas da Fuvest e também alguns guias de estudante para verificar quais os temas em Exatas cobrados no vestibular da Fuvest.

Vejam que essa lista pode ser aplicada para muitos outros Vestibulares, inclusive o ENEM, pois são os temas mais importantes, sendo que também abrangem uma grande quantidade de conteúdo.

1) Matemática

  • Geometria Plana
  • Trigonometria
  • Geometria Analítica
  • Geometria Espacial
  • Logarítmos
  • Funções
  • Progressões Aritméticas e Geométricas (PA e PG)

2) Física

  • Hidrostática (Empuxo e Pressão)
  • Eletrodinâmica (Resistores, corrente, etc)
  • Ondulatória
  • Cinemática
  • Dinâmica
  • Trabalho e energia
  • Termodinâmica e Gases
  • Óptica

3) Química

  • Ligações Química
  • Ligações Intermoleculares
  • Química Inorgânica
  • Eletroquímica
  • Termoquímica
  • Funções Inorgânicas
  • Equilíbrio Químico
  • Cálculos Estequiométricos

Aqui em nosso site, tentaremos nos focar nessa lista, pois, como dito acima, abrange uma enorme quantidade de conteúdo. Alguns desses temas já foram estudados aqui no site. Seguem os links abaixo:

Vocês tem algum assunto que gostariam que estudássemos por aqui?

Todas as dúvidas serão respondidas com prontidão!!

Grande abraço!!

 

Operações com Números Complexos

Bom dia, pessoal!

Recebi uma dúvida de um estudante em nossa página no Facebook. Ele me enviou um exercício para o cálculo de : .

Para isso, devemos lembrar que , certo? Mas também devemos lembrar das seguintes propriedades:

E essa sequência de propriedades vai se repetindo a medida que fazemos .

Portanto, para o cálculo da potência de um número irracional com alto valor, utilizaremos essas propriedades padrão como ajuda.

O primeiro valor da sequência é o , com essa sequência sendo composta por 4 valores, vamos chamar cada sequência de “coluna”.

Na segunda coluna, teremos como primeiro valor a potência , formando a seguinte coluna:

Com isso, percebemos que o primeiro valor de cada coluna é um múltiplo de 4.

O segredo deste tipo de exercício então é achar o primeiro valor da coluna que mais se aproxima do valor pedido no exercício, sendo que este primeiro valor é múltiplo de 4.

Para o caso do , ele pertence à coluna que tem como primeiro valor o , portanto sua coluna é a seguinte:

Resposta: -i

 

O raciocínio ficou claro? Caso tenha ficado alguma dúvida, por favor, comentem.

Grande abraço, pessoal!

Exercícios Resolvidos Logaritmos

Nível 1:

1) Calcule o valor de “x”:

  •    

Desmembrando o logaritmando e a base teremos:

  e  

Utilizando a Propriedade C de nossa aula  Operações com Logaritmos teremos:

Como logaritmos de mesmo logaritmando e base são iguais a 1:

Resposta:     

  • Utilizando as mesmas propriedades acima, vamos calcular:

   e    

Portanto,

Resposta: 

 

Mudança de Base (Logaritmos)

A mudança de base é uma ferramenta muito interessante na resolução de exercícios envolvendo logaritmos.

Essa ferramente consiste em substituirmos a base de um logaritmo que nós não conhecemos por um logaritmo com base cujo valor nós conhecemos. Pareceu confuso, certo? Então vamos desenrolar…

A notação genérica para este caso pode ser dada por:

Quando utilizar Mudança de Base?

Nesse tópico iremos mostrar quando a Mudança de Base pode nos ser útil.

Digamos que, em um exercício, nós desejamos calcular o   , mas nós não possuímos nenhuma informação que pareça nos ajudar nessa operação.

As únicas informações que possuímos são:

Então, como podemos definir  ??

Ao utilizarmos o conceito de mudança de base nesse logaritmo, teremos:

Substituindo os valores, teremos que :

Simples, não?

 

Em minha próxima postagem resolverei diversos exemplos sobre a aplicação das propriedades vistas nestas três aulas.

Caso vocês tenham perdido alguma, seguem abaixo os links para acesso.

 

Não se esqueçam de comentar, enviando dúvidas e sugestões para as próximas aulas, inclusive dicas de conteúdo que possuam dúvidas.

Até a próxima!!

 

Operações com Logaritmos

Boa tarde, pessoal.

Na nossa primeira aula sobre Logaritmos, nós estudamos as suas propriedades fundamentais, ou seja, as ferramentas básicas para o que veremos na aula de hoje.

Veremos nessa aula como realizamos operações com Logaritmos, aprenderemos também o recurso da Mudança de Base, que uma ferramenta muito interessante para a resolução de exercícios e, na próxima aula, resolveremos diversos exercícios para fixar todo o conhecimento adquirido.

Lembrando que, como sempre, vocês podem me enviar suas dúvidas nos comentários ou por e-mail.

Então vamos lá!

Inicialmente, devemos nos atentar que SEMPRE que um Logaritmo for escrito sem um número na BASE, o valor da base é 10. Ou seja, se o Logaritmo estiver escrito como:

 ou , temos que a base deste logaritmo é 10. Devemos nos atentar também que grande maioria dos exercícios vem na base 10.

Dito isso, vamos para nossa primeira propriedade…

a) Soma de Logaritmos

Ao somarmos dois logaritmos de mesma base, o resultado desta operação é dado por:

Ou seja, a soma de dois logaritmos resulta em uma logaritmo de mesma base, porém com o logaritmando (parte de cima) igual ao produto entre os dois logaritmandos anteriores.

Essa propriedade também vale para a soma de infinitos logaritmos de mesma base.

A segunda propriedade é:

b) Subtração de Logaritmos

Assim como a propriedade acima, a subtração de logaritmos é bastante semelhante.

Ao subtrairmos dois logaritmos de mesma base, o resultado desta operação é dado por:

Ou seja, a subtração de dois logaritmos resulta em uma logaritmo de mesma base, porém com o logaritmando (parte de cima) igual ao quociente (divisão) entre os dois logaritmandos anteriores.

Obs: esta propriedade também é válida para infinitas subtrações.

A terceira propriedade é:

c) Potências de Logaritmos

Esta propriedade envolve a situação de quando o nosso logaritmando possuir algum expoente. Nesse caso, o expoente se tornará o multiplicador de todo o logaritmo.

Valor ilustrar:

Percebemos que o expoente “n” de “b” virou o multiplicador do logaritmo.

Exemplo:

 = ??

Decompondo o logaritmando 4, temos: 4 = 2², correto?

Portanto,   = 

Utilizando a propriedade de Potências de Logaritmos, temos:

 = 

Como vimos na Propriedade 2 da Aula 1, um logaritmo com o valor do logaritmando igual ao valor de sua base é igual a 1, teremos:

 

Conclusão:

Todas estas propriedades se tornarão muito mais claras em nossas mentes quando as utilizarmos na resolução de alguns exercícios de fixação. É por isso que nas próximas aulas resolveremos diversos exercícios envolvendo cada uma dessas propriedades acima.

E então? Gostaram? Aguardo seus comentários com dúvidas e sugestões, responderei todas as dúvidas da forma que desejarem.

Até mais, pessoal! Continuar lendo